Алгебра. Исследование функций с помощью производной

Многие реальные физические, биологические, социальные и прочие процессы, связанные с большим количеством действующих факторов и «действующих лиц» (например, атомов, составляющих макротело), подчиняются четко определенным «правилам», называемым физическими, биологическими, социальными и прочими законами. Поведение этих процессов определяются функциональными зависимостями результатов от вызывающих их причин, то есть, другими словами, результат реального процесса есть функция, аргументами которой являются причины.

Следовательно, если исследователям известен функциональный закон рассматриваемого процесса, то все исследование практически сводится к анализу (исследованию) функции.

Насколько важна проблема исследования функции?

Например, ученые-геофизики определили функцию, точно описывающую тектонические колебания. Тогда исследование функции может подсказать тот момент времени, когда амплитуда этих колебаний вызовет катастрофические изменения: землетрясения, образование разломов и вулканов.

Если известна функция экологического баланса какой-либо экосистемы (лес, водоем, степь и т.п.), значит, возможно регулирование баланса за счет изменения параметров системы (исследование параметрических функций).

Данная работа представляет собой попытку систематизировать методы исследования функций на предмет выработки некоего универсального алгоритма анализа поведения функций и построения их графиков.

Поставлены и решены задачи по представлению информации в доступной и легкой для восприятия школьником форме, выделению важных, ключевых моментов и наглядной иллюстрации.

Для того чтобы построить график функции y=f(x), нужно провести полное ее исследование по следующей схеме:

1. Область определения функции, непрерывность.

2. Точки разрыва функции (если они есть), вертикальные асимптоты.

3. Наклонные асимптоты.

4. Область значения.

5. Четность, нечетность функции.

6. Возрастание, убывание функции, признаки постоянства.

7. Экстремум функции.

8. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции.

9. Дополнительные точки графика (если необходимо).

10. График функции.

В данной работе приведен ряд примеров исследования функций, наиболее характерных для инженерных расчетов и по сложности несколько выходящих за рамки школьной программы. Тем не менее материал изложен доступным языком, снабжен подробными и наглядными иллюстрациями и вполне пригоден для самостоятельного изучения и использования в качестве справочного пособия по исследованию функций. 

Автор:  Свинухова М., 11ЛН класс — лауреат XI НПК гимназистов
Научный руководитель — Павлова С.М.